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引用论文
杨乐昌, 韩东旭, 王丕东. 基于Wasserstein距离测度的非精确概率模型修正方法[J]. 机械工程学报, 2022, 58(24): 300-311.
YANG Lechang, HAN Dongxu, WANG Pidong. Imprecise Probabilistic Model Updating Using A Wasserstein Distance-based Uncertainty Quantification Metric[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2022, 58(24): 300-311.
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复杂物理系统的数学代理模型往往包含多类不确定性因素。为了使数学代理模型满足实际需求，衍生出了不确定性分析反问题。反问题是一类基于统计推断的问题，基于系统抽象化模型的输出统计信息反向推断模型输入参数信息，进而可以根据推断出的输入参数识别感兴趣的系统特征或预测系统输出。模型修正方法的关键在于选择合理的量化测度，测度的选择显著影响修正结果。表征试验观测和模型预测的相似性测度有许多种，如KL散度，但由于不对称性使其在应用中存在局限。基于距离的测度很好的避开了这一问题，但也存在着诸多问题。如欧式距离和马氏距离无法修正参数的方差；巴氏距离虽然既可以修正均值也可以修正方差，但当概率分布无重叠时，巴氏系数值趋于无穷大，无法进行校准。欧式-巴氏的二级测度解决了这一问题但一定程度上增加了计算成本。此外巴氏距离的定义中需要计算积分，当高维时便会遇到“维数灾难”。其离散化的求解方法虽然避开了高维积分的计算，但由于离散求解而引入的分箱算法也带来了箱数的选择等相关问题。在实际工程问题如机械系统可靠性优化设计中，可结合系统响应的部分实测数据，校准模型关键参数取值，修正模型结构，提高代理模型的保真性。但对于具有混合不确定性的非精确概率模型，传统基于欧式距离的模型修正方法并不适用。
综上，北京科技大学杨乐昌副教授及团队考虑上述问题，提出基于Wasserstein距离测度的非精确概率模型修正方法，该方法相较于传统方法具有更高精度与更好的一般适用性，对模型的高阶超参数有效，可显著降低模型结构及参数不确定性。上述研究成果以题为《基于Wasserstein距离测度的非精确概率模型修正方法》的论文发表在《机械工程学报》2022年第24期。
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理论方法
基于Wasserstein（W）距离测度的非精确概率模型修正方法如图1所示。
图1 基于Wasserstein距离测度的非精确概率模型修正方法流程图
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数值算例
考虑如图 2 所示受迫振动的钢板本构参数校核问题。通过钢板固有频率的测量值校准频率计算模型中的输入参数弹性模量与剪切模量。
图2 受迫振动钢板
基于W距离测度修正的后验结果显著的更新了先验知识，与真实值具有较好的一致性，W距离不仅可以修正均值，而且可以修正E欧式距离无法修正的参数方差，如图3所示。
图3 后验结果与真值比较图
其中，参数后验极大似然估计值与95%置信区间结果如表1所示，通过将修正结果与真值及欧式距离修正结果比较，验证了本文提出的基于近似贝叶斯推理与W距离测度的非精确概率模型更新方法的可行性与有效性。如表1所示，精度方面，基于W距离测度修正样本不确定性参数的集中程度与离散程度方面均得到校准，而欧氏距离无法校准参数方差；效率方面，通过切片分割，提高了计算效率，所提出的方法在精度与效率方面做到了综合考虑。
表1 后验结果与真值比较数据
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工程应用
考虑NASA提出的不确定性量化挑战问题，NASA Langley提出的多学科不确定性量化问题围绕其描述远程操作双喷气飞机飞行动力学的计算模型而展开。不确定性量化问题中系统模型以“黑盒”的形式给出，并提供了模型输入参数p的不确定性模型以及试验观测数据集x1。任务是通过给定的参数不确定性模型与试验观测值来更新参数不确定性模型，减小参数认知不确定性空间，进而提高模型质量使其很好的预测物理系统的情况。问题框架如图4所示。
图4 NASA不确定性量化挑战问题任务框架
采用近似贝叶斯推理与W距离测度的非精确概率模型修正方法基于两组50个试验观测样本修正认知不确定性参数，修正参数直方图如图5所示，参数后验联合概率密度等高线图如图6所示。基于W距离测度的修正，经TMCMC迭代校准参数的后验分布呈现出明显的概率特征。图5与6中，θ3和θ5的后验分布均呈现出双峰；而θ6和θ8由于校准知识的缺乏而没有被明显更新。基于W距离测度的修正后模型的混合不确定性预测评估通过概率盒图如图7所示。修正后的模型预测很好的包含了50个试验观测值的累计密度函数。概率盒相较于修正前明显变窄，极大的减小了不确定性参数的认知空间，提高了模型预测能力。
图5 基于近似贝叶斯推理与W距离测度的非精确概率模型修正后验直方图
图6 基于近似贝叶斯推理与W距离测度的非精确概率模型修正后验联合概率密度函数等高线图
图7 基于W距离测度修正后模型预测概率盒图
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结论
提出了一种基于近似贝叶斯推理与 W 距离测度的非精确概率模型修正方法。方法利用 p 维参数空间中的 Wasserstein 距离量化不同概率分布之间的差异，相较于现有模型修正方法，可校准模型的高阶超参数，显著降低模型结构及参数不确定性。具体的：
（1）相较于传统距离测度（欧氏距离或马氏距离），W距离测度可更为有效的量化不同概率分布之间离散型的差异。基于W距离测度的模型修正方法对不确定性传递模型中的低阶（均值）和高阶（方差）参数均有效；
（2）相较于熵测度（如KL散度），W距离是一种对称性测度，满足三角不等式及可加性原理。基于W距离测度的模型修正方法具有更好的鲁棒性；
（3）基于巴氏距离的模型修正方法准确性与先验概率分布的相对位置与分箱箱数的选择相关，而W距离没有概率分布重叠的约束且基于最优运输理论无需主观决策，本文方法具有更强的一般性。
主创简介
杨乐昌，1987年生，北京科技大学副教授，研究生导师，北京航空航天大学本硕博，人社部、博管会“香江学者”，中国系统工程学会系统可靠性工程专业委员会委员，中国运筹学会智能计算分会委员、可靠性分会青年委员，International Journal of Hydromechatronics青年编委。研究方向包括机械可靠性，系统可靠性，不确定性量化与剩余寿命预测，主持国家自然科学基金（面上、青年）、广东省自然科学基金（面上）、航空科学基金（自由探索类）、中国博士后科学基金（一等面上）等多个科研项目，参与国家重点研发计划重点专项、国家973等一系列国家级重大项目的研究工作，在《Mechanical Systems and Signal Processing》《Reliability Engineering & System Safety》《IEEE Transactions on Reliability》《International Journal of Intelligent Systems》《Information Sciences》《机械工程学报》《航空学报》等国内外一流刊物上发表学术论文30余篇。
曾受邀主持第11届质量、可靠性、风险、维修性及安全工程国际会议（QR2MSE 2021）主旨报告（keynote speech）；担任第13届可靠性、维修性与安全性国际会议（ICRMS 2022）分会场主席，第11届质量、可靠性、风险、维修性及安全工程国际会议（QR2MSE 2021）及第4届可靠性与系统工程国际会议（ICRSE 2021）分会场主席，第12届可靠性与故障预测健康管理国际会议（PHM 2021）分会场主席，第29届欧洲安全性与可靠性国际会议（ESREL 2019）分会场主席；第4、5届系统可靠性与安全工程国际会议（SRSE）技术委员会委员，第8届可靠性工程与风险管理国际会议（ISRERM 2022）技术委员会委员，第12、13届质量、可靠性、风险、维修性及安全工程国际会议（QR2MSE）技术委员会委员，获2019年故障诊断与系统健康管理国际会议（PHM 2019）最佳论文奖，出版译著《结构可靠性分析与预测》一部。
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团队研究方向
研究方向包括可靠性建模与分析，不确定性量化，PMH技术，智能运维等。
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近三年代表性论文
[1] Chenxing Wang, Lechang Yang*, Min Xie, Marcos Valdebenito and Michael Beer, Bayesian Maximum Entropy Method for Stochastic Model Up dating using Measurement data and Statistical Information, Mechanical System s and Signal Processing, 2023, 188: 110012.
[2] Wenhua Zhao, Lechang Yang*, Chao Dang, Roberto Rocchetta, Marcos Valdebenito, and David Moens, Enriching stochastic model updating metrics: An efficient Bayesian approach using Bray-Curtis distance and an adaptive binning algorithm, Mechanical Systems and Signal Processing, 2022, 171: 108889.
[3] Lechang Yang*, Sifeng Bi, Matthias G. R. Faes, Matteo Broggi, and Michael Beer, Bayesian inversion for imprecise probabilistic models using a novel entropy-based uncertainty quantification metric, Mechanical Systems and Signal Processing, 2022, 162: 107954.
[4] Lechang Yang*, Pidong Wang, Wenhua Zhao, Chenxing Wang, Xiuli Wu, and Matthias G. R. Faes, On investigation of the Bayesian anomaly in multiple imprecise dependent information aggregation for system reliability evaluation, International Journal of Intelligent Systems, 2021, 36(6): 2895–2921.
[5] Lechang Yang*, Pidong Wang, Qiang Wang, Sifeng Bi, Rui Peng, Jasper Behrensdorf and Michael Beer, Reliability analysis of a complex system with hybrid structures and multi-level dependent life metrics, Reliability Engineering & System Safety, 2021, 209: 107469.
[6] Lechang Yang*, Yanling Guo, and Qiang Wang, Reliability assessment of a hierarchical system subjected to inconsistent priors and multi-level data, IEEE Transactions on Reliability, 2020, 69(1): 277-292.
作 者：杨乐昌
责任编辑：李 娜
责任校对：金 程
审 核：张 强
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